Question

如圖，斜率為1的直線過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移到直線l，N為l上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求

NA

•

NB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程及N點(diǎn)坐標(biāo)和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得

NA

•

NB

的以N點(diǎn)坐標(biāo)表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．

解答：解：（1）由條件知lAB：y=x-

p

2

，則

y=x- p 2 y2=2px

，消
去y得：x2-3px+

1

4

p2=0，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y²=4x．
（2）直線l的方程為：y=x+

p

2

，于是設(shè)N(x0，x0+

p

2

)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2，y2-x0-

P

2

)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2
由第（1）問(wèn)的解答結(jié)合直線方程，不難得出x1+x2=3p，x1x2=

1

4

p2
且y₁+y₂=x₁+x₂-p=2p，y1y2=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=-p2
則

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
當(dāng)x0=

p

2

時(shí)，

NA

•

NB

的最小值為-

7

2

p2

點(diǎn)評(píng)：此題考查拋物線的定義，及向量坐標(biāo)運(yùn)算．