已知函數(shù)f(x)=3x2-2x+b(b∈R),
(Ⅰ)解關于x的不等式f(x)≥0;
(Ⅱ)當x∈[-1,1]時,恒有f(x)<0,求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)當b=7,不等式f(x)-k(x+1)≥0,對于x∈[0,2]恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
考點:函數(shù)恒成立問題,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題:函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用
分析:(1)分△≤0,與△>0兩種情況寫出不等式的解集;
(2)要使當x∈[-1,1]時,恒有f(x)<0,則f最大值<0即可;利用二次函數(shù)求最值的方法求出最值即可;
(3))當b=7,不等式f(x)-k(x+1)≥0,化為f(x)≥k(x+1),進一步3x2-2x+7≥k(x+1),進一步化為k≤
3x2-2x+7
x+1
,
g(x)=
3x2-2x+7
x+1
,要使原不等式對于x∈[0,2]恒成立,只需使k≤g(x)最小值即可,再求導,用導數(shù)求最小值.
解答: 解:(1)△=4-12b,
當△≤0,即4-12b≤0,即b≥
1
3
時,f(x)≥0恒成立,不等式的解集為R;
當△>0,即4-12b>0,即b<
1
3
時,由3x2-2x+b=0得x1=
1+
1-3b
3
、x2=
1-
1-3b
3

∴不等式f(x)≥0的解集為{x|x≤
1-
1-3b
3
,或x≥
1+
1-3b
3
}
(2)要使當x∈[-1,1]時,恒有f(x)<0,則f最大值<0即可;
∵函數(shù)f(x)=3x2-2x+b(b∈R)的對稱軸為x=
1
3

∴當x=-1時,函數(shù)f(x)取最大值,即f最大值=f(-1)=5+b,
∴5+b<0,∴b<-5
(3)當b=7,不等式f(x)-k(x+1)≥0,化為f(x)≥k(x+1),進一步3x2-2x+7≥k(x+1)
∵x+1>0,∴不等式等價于k≤
3x2-2x+7
x+1
,
g(x)=
3x2-2x+7
x+1
,要使原不等式對于x∈[0,2]恒成立,只需使k≤g(x)最小值即可,
g′(x)=
(6x-2)(x+1)-(3x2-2x+7)
(x+1)2
=
3(x+3)(x-1)
(x+1)2
,由g′(x)=0得x=1,
∴當x∈[0,1]時,g′(x)<0,g(x)遞減;當x∈[1,2]時,g′(x)>0,g(x)遞增;
∴當x=1時,函數(shù)g(x)取最小值,∴g(x)最小值=g(1)=
3-2+7
1+1
=4

∴k≤4.
點評:本題綜合考查函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)與不等式的關系,合理轉化是解題的關鍵,也就是把恒成立的問題轉化為求函數(shù)的最值來處理.
練習冊系列答案
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1
2
}
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1
2
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π
2
π
2
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A、
3
f(-
π
3
)<f(-
π
6
)
B、f(-
π
6
)>
3
2
f(0)
C、f(
π
4
)>
2
f(
π
3
)
D、f(0)>
2
f(
π
4
)

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