Question

【題目】已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若對(duì)于x≥a均有g(shù)（x）＜f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|≤|x﹣a﹣x﹣b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴x≥a，x﹣a≥0，x+b＞0，
此時(shí)，f（x）=x﹣a﹣x﹣b=﹣3，
若對(duì)于x≥a均有g(shù)（x）＜f（x），
即x2+ax+b﹣3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，
對(duì)稱軸x=﹣ ＜0，
故只需a2+a2﹣a＞0即可，
解得：a＞ ，
故 ＜a＜3．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出f（x）的最大值是a+b，從而求出a+b的值即可；（Ⅱ）根據(jù)a，b的范圍，問題轉(zhuǎn)化為x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握絕對(duì)值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．