選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(t)=|t+1|-|t-3|
(I)求f(t)>2的解集;
(II)若a>0,g(x)=ax2-2x+5,若對任意實數(shù)x、t,均有g(shù)(x)≥f(t)恒成立,求a的取值范圍.
解:(I)由函數(shù)f(t)=|t+1|-|t-3|>2可得
①
,或②
,或③
.
解①得t∈∅,解②得 2<t<3,解③得 t≥3.
綜上可得,不等式的解集為{t|t>2}.
(II)∵a>0,g(x)=ax
2-2x+5,若對任意實數(shù)x、t,均有g(shù)(x)≥f(t)恒成立,
故有g(shù)
min(x)≥f
max(t).
由題意可得,當(dāng)x=
時,g(x)取得最小值為g
min(x)=
.
而由絕對值的意義可得f(t)的最大值等于4,
∴
,解得 a≥1,
故a的取值范圍為[1,+∞).
分析:(I)把原不等式等價轉(zhuǎn)化為 ①
,或②
,或③
,分別求出①、②、③的解集,再取并集,即得所求.
(II)由題意可得g
min(x)≥f
max(t).利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g
min(x)=
,由絕對值的意義可得f(t)的最大值等于4,由
求出a的取值范圍.
點評:本題主要考查絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.