Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₃=6，正項數(shù)列{b_n}滿足b₁•b₂•b₃…b_n=2 Sn．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若λb_n＞a_n對n∈N^*均成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得a_n，S_n．再利用遞推式可得b_n．
（2）λb_n＞a_n，化為λ＞

n

2n

．考察數(shù)列{

n

2n

}的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，S₃=6，∴3a1+

3×2

2

d=6，化為1+d=2，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n，Sn=

n(n+1)

2

．
∴S_n-1=

n(n-1)

2

（n≥2）．
∵正項數(shù)列{b_n}滿足b₁•b₂•b₃…b_n=2 Sn．
∴當n≥2時，正項數(shù)列{b_n}滿足b₁•b₂•b₃…b_n-1=2Sn-1．
∴b_n=2Sn-Sn-1=2ⁿ．
當n=1時，b1=2S1=2，也滿足上式．
∴bn=2n．
綜上可得：a_n=n，bn=2n．
（2）λb_n＞a_n，化為λ＞

n

2n

．
令cn=

n

2n

，
∵

cn+1

cn

=

n+1 2n+1

n 2n

=

n+1

2n

≤1，
∴c_n+1≤c_n，當且僅當n=1時取等號．
∴數(shù)列{

n

2n

}的單調(diào)遞減，
∵λb_n＞a_n對n∈N^*均成立，
∴λ＞

1

2

．
∴實數(shù)λ的取值范圍是λ＞

1

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列通項公式與前n項和公式、遞推式的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．