Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，已知點(diǎn)（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x的圖象上，且a₂•a₄=

1

64

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=na_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由于點(diǎn)（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x的圖象上，可得a_n=2a_n+1，a_n＞0，再利用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x的圖象上，
∴a_n=2a_n+1，a_n＞0，
∴

an+1

an

=

1

2

，故數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∵a₂•a₄=

1

64

．
∴a1×

1

2

×a1×(

1

2

)3=

1

64

，又a₁＞0，解得a1=

1

2

，
∴an=a1qn-1=

1

2n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=

1

2n

，∴b_n=na_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

，…①

1

2

Sn=

1

22

+2×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n

+n×

1

2n+1

…②
①-②式得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

．
∴S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n×

1

2n

=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．