Question

已知f（x）是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，且f[f（x）]=4x+3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若集合A={x|f（x）•f（x+1）≤0且x∈Z}，求集合A．
（3）若g（x）是定義在R的奇函數(shù)，且x＜0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)f（x）=kx+b，k＞0，然后利用條件f（f（x））=4x+3，求解即可．
（2）解不等式f（x）•f（x+1）≤0，即可求集合A．
（3）根據(jù)g（x）是定義在R的奇函數(shù)，即可求g（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x）是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，
∴f（x）=kx+b，k＞0，
由f（f（x））=4x+3，
得f（kx+b）=k（kx+b）+b=4x+3
即k²x+kb+b=4x+3，
∴

k2=4 kb+b=3

，
解得k=2，b=1，
∴f（x）=kx+b=2x+1．
（2）∵f（x）=2x+1．
∴由f（x）•f（x+1）≤0，
得（2x+1）（2x+3）≤0，
解得-

3

2

≤x≤-

1

2

，
∵x∈Z，
∴x=-1，
即集合A={-1}．
（3）當(dāng)x＜0時，g（x）=f（x）=2x+1，
∵g（x）是定義在R的奇函數(shù)，
∴g（0）=0，g（-x）=-g（x），
若x＞0，則-x＜0，
則g（-x）=-2x+1=-g（x），
則g（x）=2x-1．
∴g（x）的解析式為

2x+1，x＜0 0，x=0 2x-1，x＞0

．

點評：本題主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，綜合性較強，涉及的知識點較多．