Question

（2007•咸安區(qū)模擬）設f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，且當x＞0時有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：首先，因為g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價于

f(x)

g(x)

＞0的解集．由當x＞0時有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以證明

f(x)

g(x)

的單調(diào)性，從而使問題得解．

解答：解：首先，因為g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價于

f(x)

g(x)

＞0的解集．
下面我們重點研究

f(x)

g(x)

的函數(shù)特性．因為當x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以當x＞0，(

f(x)

g(x)

)/＜0．也就是

f(x)

g(x)

，當x＞0時，是遞減的．
由f（1）=0得

f(1)

g(1)

=0．所以有遞減性質，（0，1）有

f(x)

g(x)

＞0．
由f（x）是奇函數(shù)，f（-1）=0，x＜-1時，

f(x)

g(x)

=-

f(-x)

g(x)

＞0 不等f（x）＞0式的解集是（-∞，-1）∪（0，1），
故選C．

點評：解答本題的關鍵是根據(jù)已知條件，結合奇函數(shù)的性質，找出函數(shù)的零點，并以零點為端點將定義域分為幾個不同的區(qū)間，然后在每個區(qū)間上結合函數(shù)的單調(diào)性進行討論，這是分類討論思想在解決問題的巨大作用的最好體現(xiàn)，分類討論思想往往能將一個復雜的問題的簡單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．