Question

（2012•廈門模擬）將y=lnx的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ后第一次與y軸相切，則角θ滿足的條件是（　�。�

A．esinθ=cosθ

B．sinθ=ecosθ

C．esinθ=l

D．ecosθ=1

Answer 1

分析：設(shè)y=lnx的圖象的切線的斜率為k，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．再由tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)y=f（x）=lnx的圖象的切線的斜率為k，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則由題意可得，切線的斜率為 k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，∴x₀=e．
再由θ的意義可得，tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，∴sinθ=ecosθ，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的意義及其應(yīng)用，直線的斜率公式，函數(shù)圖象的變化，屬于基礎(chǔ)題．