Question

設(shè)f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，進(jìn)而分類討論各段上f（x）≤8的解，最后綜合討論結(jié)果，可得不等式f（x）≤8的解集．
（2）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可分析出函數(shù)的f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的最小值，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x|+2|x-1|=

2-3x，x＜0 2-x，0≤x≤1 3x-2，x＞1

當(dāng)x＜0時，由2-3x≤8得，-2≤x＜0
當(dāng)0≤x≤1時，由2-x≤8得，0≤x≤1
當(dāng)x＞1時，由3x-2≤8得，1＜x≤

10

3

綜上所述不等式f（x）≤8的解集為[-2，

10

3

]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=

2a-3x，x＜0 2a-x，0≤x≤a 3x-2a，x＞a

則f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=a時，f（x）取最小值a
若f（x）≥6恒成立，則a≥6
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[6，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對值不等式，其中利用零點(diǎn)分段法，將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，進(jìn)而分類討論是解答此類問題的通法．