Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x-1）（a為常數(shù)，a∈R）．
（Ⅰ）若x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函數(shù)定義域上恒成立，（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，求導(dǎo)，令f′（1）=0，解得a，注意驗(yàn)證；
（Ⅱ）不等式f′（x）≥-2x在函數(shù)定義域上恒成立，把f′（x）代入，整理分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答：解：∵f（x）=lnx+a（x-1）∴定義域（0，+∞），f'（x）=

1

x

+a．
（Ⅰ）∵f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=0∴a=-1
f（x）=lnx-（x-1）f'（x）=

1

x

-1=-

x-1

x

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
滿足在x=1處取得極大值，
∴a=-1．
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函數(shù)定義域上恒成立．
即

1

x

+a≥-2x在（0，+∞）上恒成立，-a≤

1

x

+2x在（0，+∞）上恒成立
∵

1

x

+2x≥2

2

，“=”當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取到，
∴a≥-2

2

．

點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，恒成立問題一般采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，在求最值過程中，用到了基本不等式，注意正、定、等三方面，屬難題．