Question

已知函數(shù) ．

(Ⅰ)若在處的切線垂直于直線，求該點(diǎn)的切線方程，并求此時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和；

(Ⅱ) 或.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過切線垂直直線可以得到切線的斜率，解出，將代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程，令和分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(Ⅱ)通過對(duì)的討論，求出在上的最大值，令，解出的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) ，根據(jù)題意，解得，

此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)是，故所求的切線方程是，即.

當(dāng)時(shí)，，

令，解得，令，解得且，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和．             5分

(Ⅱ) .

①若，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；                     7分

②若，則在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，中的較大者，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；                     9分

③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為.                      11分

綜上可知，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù).

不等式對(duì)任意的恒成立等價(jià)于在區(qū)間上，，故當(dāng)時(shí)，，即，解得或；當(dāng)時(shí)，，即，解得.                  12分

綜合知當(dāng)或時(shí)，不等式對(duì)任意的恒成立．      13分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2.用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；3.恒成立問題.