Question

已知橢圓C：的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，且△AOB的面積為，求：實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)闄E圓離心率為e==，又因?yàn)槎梯S一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a=，故c=，從而b²=a²-c²=1，橢圓C的方程為．
（2）先由原點(diǎn)O到直線l的距離為，得等式，再將直線l與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和△AOB的面積為，得等式•=，最后將兩等式聯(lián)立解方程即可得k值
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，
∴b=1，∴所求橢圓方程為．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由已知，得．
又由，消去y得：
（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴，．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=
==
又，
化簡(jiǎn)得：9k⁴-6k²+1=0
解得：
點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交的性質(zhì)，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理在解題中的重要應(yīng)用，巧妙地運(yùn)用設(shè)而不求的解題思想提高解題效率．