Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)，第三項(xiàng)，第四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意自然數(shù)n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)用{a_n}的首項(xiàng)與公差表示，再據(jù)此三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)列的第n項(xiàng)等于前n項(xiàng)和減去前n-1項(xiàng)的和求出

cn

bn

，進(jìn)一步求出c_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出從第二項(xiàng)開始到第n項(xiàng)的和再加上首項(xiàng)3．

解答：解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
解得d=2，
∴a_n=2n-1，b_n=3^n-1（5分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，c₁=3；當(dāng)n≥2時(shí)，

cn

bn

=an+1-an，
c_n=2•3^n-1，cn=

3(n=1) 2•3n-1(n≥2)

（10分）
∴c₁+c₂+…+c₂₀₀₆=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰⁰⁵=3²⁰⁰⁶（14分）

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵先求出數(shù)列的通項(xiàng)，判斷出通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的求和方法．