【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，焦點為，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的標準方程；

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P，且直線l與橢圓C交于兩點．記 的面積為，證明：．

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

(1)利用橢圓的性質列出方程組，即可得到橢圓C及圓O的標準方程；

(2)利用斜截式設出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離公式得到點到直線的距離，將直線的方程代入橢圓，結合韋達定理，得出的長度，利用三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質即可證明.

（1）由題意，橢圓C的方程為.

可得，解得

所以橢圓C的方程為．

因為焦點在軸上，

所以橢圓C的焦點為．

所以直徑為的圓O的方程為．

（2）由題意知，直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P，

設直線的斜截式方程為.

因為直線與圓相切，

所以點到直線的距離為.

即.

因為直線與橢圓C相交于兩點，

由，整理得，

設，則

.

因為．

又，

所以.

所以.

又因為，

所以．

因為，

所以

．

設，則，則

.

令.

則.

設

因為在上單調(diào)遞減，

所以.

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】年底，湖北省武漢市等多個地區(qū)陸續(xù)出現(xiàn)感染新型冠狀病毒肺炎的患者，為及時有效地對疫情數(shù)據(jù)進行流行病學統(tǒng)計分析，某地研究機構針對該地實際情況，根據(jù)該地患者是否有武漢旅行史與是否有確診病例接觸史，將新冠肺炎患者分為四類：有武漢旅行史（無接觸史），無武漢旅行史（無接觸史），有武漢旅行史（有接觸史）和無武漢旅行史（有接觸史），統(tǒng)計得到以下相關數(shù)據(jù)：

有接觸史

無接觸史

總計

有武漢旅行史

無武漢旅行史

總計

（1）請將上面列聯(lián)表填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關系？

（2）已知在無武漢旅行史的名患者中，有名無癥狀感染者.現(xiàn)在從無武漢旅行史的名患者中，選出名進行病例研究，求人中至少有名是無癥狀感染者的概率.

下面的臨界值表供參考：

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰中，斜邊，為直角邊上的一點，將沿直線折疊至的位置，使得點在平面外，且點在平面上的射影在線段上設，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）直線與軸的交點為，經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車速不超過100的有25人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100的人與性別有關.

平均車速超過100人數(shù)

平均車速不超過100人數(shù)

合計

男性駕駛員人數(shù)

女性駕駛員人數(shù)

合計

（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數(shù)學期望.

參考公式與數(shù)據(jù)：，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.

（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．

①求數(shù)列{bn}的通項公式；

②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，拋物線上的點到準線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點，與拋物線交于，兩點，，分別為弦，的中點，求的最小值.

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