Question

【題目】如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為，，，，，.

（1）求證：平面；

（2）為線(xiàn)段上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形是矩形，得到，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得到平面，進(jìn)而得到平面，利用面面平行的判定定理證得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)得到平面，證得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，證得平面平面，作于點(diǎn)，則平面，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求得二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面，

因?yàn)?/span>，平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>平面，故平面平面，

作于點(diǎn)，則平面，

以為原點(diǎn)，平行于的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由，，，得，，

則，，，，

所以，

由已知，所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

取，，，得，又平面的一個(gè)法向量為，

所以，即二面角的余弦值為.