Question

若直線ax+by=ab（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=1相切，則ab的最小值是

2

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，利用基本不等式化簡(jiǎn)后，得到關(guān)于ab的不等式，求出不等式的解集得到ab的范圍，即可確定出ab的最小值．

解答：解：由圓x²+y²=1，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
∵直線ax+by=ab（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=1相切，
∴圓心到直線的距離d=r，即

ab

a2+b2

=1，即ab=

a2+b2

，
又

a2+b2

≥

2ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴ab≥

2ab

，即（ab）²≥2ab，
變形得：ab（ab-2）≥0，又a＞0，b＞0，
可化為：

ab＞0 ab-2≥0

，
解得：ab≥2，
則ab的最小值為2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．