Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$，g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，$\frac{2}{3}$]；
②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒有解；
④若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．
其中所有正確結(jié)論的序號為①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，求出函數(shù)f（x）的值域可判斷①；分析函數(shù)g（x）在[0，1]上的單調(diào)性，可判斷②；判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間[0，1]上解的個數(shù)，可判斷③；分析出滿足：?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立時實數(shù)a的取值范圍，可判斷④．

解答 解：當(dāng)x≥1時，函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{-（x}^{2}-2x-3）}{{{（x}^{2}+3）}^{2}}$，
1≤x≤3時，f′（x）≥0，x≥3時，f′（x）≤0，故當(dāng)x=3時，f（x）取極大值$\frac{2}{9}$，故此時f（x）∈[0，$\frac{2}{9}$]，
當(dāng)x≤1時，函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{（x}^{2}+3）^{2}}$
-1≤x≤1時，f′（x）≤0，x≤-1時，f′（x）≥0，故當(dāng)x=-1時，f（x）取極大值$\frac{2}{3}$，故此時f（x）∈[0，$\frac{2}{3}$]，
綜上可得：函數(shù)f（x）的值域為[0，$\frac{2}{3}$]；故①正確；
當(dāng)x∈[0，1]時，$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π∈[$\frac{3}{2}$π，$\frac{11π}{6}$]，此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，故②正確；
x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{4}{3}•\frac{1-x}{{x}^{2}+3}$，f′（x）=$\frac{4}{3}•\frac{{x}^{2}-2x-3}{{（x}^{2}+3）^{2}}$＜0，故f（x）為減函數(shù)，
由f（0）=$\frac{4}{9}$，f（1）=0，可得f（x）∈[0，$\frac{4}{9}$]，
而g（0）=-3a+2，g（1）=$-\frac{5}{2}$a+2，故g（x）∈[-3a+2，$-\frac{5}{2}$a+2]，
當(dāng)$-\frac{5}{2}$a+2≥0，即a≤$\frac{4}{5}$時，方程f（x）=g（x）有解，
當(dāng)$-\frac{5}{2}$a+2＜0，即a＞$\frac{4}{5}$時，方程f（x）=g（x）無解，故③錯誤；
若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則$-\frac{5}{2}$a+2≥0，且-3a+2≤$\frac{2}{3}$；
解得：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．故④正確；
故答案為：①②④，
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的值域，函數(shù)恒成立問題，方程的根，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．