Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，PA=AB，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面AMN⊥平面PBC；
（3）若AD-AB=1，PD=，∠CDA=45°，求二面角P-AB-N的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，知MN∥BC，由AB⊥AD，AB⊥BC，知BC∥AD，MN∥AD，由此能夠證明MN∥平面PAD．
（2）由PA=AB，M是PB的中點(diǎn)，知AM⊥PB，由PA⊥底面ABCD，知BC⊥PA，由BC⊥AB，知BC⊥平面PAB，由此能夠證明平面AMN⊥平面PBC．
（3）由PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，知PA⊥AD，由PA=AB，知PA²+AD²=PD²，由PA=AB，，知AB²+AD²=PD²=5，聯(lián)立，解得．方法一（向量法）：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角P-AB-N的大�。环椒ǘ�（幾何法）由（2）知BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥PB，由N是直角三角形Rt△PBC斜邊上的中線，知．同理．故AN=BN．由此能求出二面角P-AB-N的大�。�
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：∵M(jìn)，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，
∴MN是△PBC的中位線，∴MN∥BC，
又∵AB⊥AD，AB⊥BC，
∴BC∥AD，∴MN∥AD，…（1分）
AD?平面PAD，…（2分）MN?平面PAD，…（3分）
∴MN∥平面PAD．…（4分）
（2）∵PA=AB，M是PB的中點(diǎn)，
∴AM⊥PB…（5分）
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，
∴AM⊥BC．…（6分）
PB∩BC=B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM⊥平面PBC．…（7分）
又AM?平面AMN…（8分）
∴平面AMN⊥平面PBC．…（9分）
（3）∵PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，又PA=AB，∴PA²+AD²=PD²，
又PA=AB，，∴AB²+AD²=PD²=5，
聯(lián)立，解得．
過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，
在Rt△DHC中，∠CDH=45°，CH=AB=1，
∴DH=1，∴BC=AH=1．…（10分）
方法一（向量法）：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
如圖所示．…（11分）

則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），
，，，．
由（2）知是平面PAB的一個(gè)法向量；
設(shè)平面NAB的法向量為，
則，即，
得．取．…（12分）．…（13分）
結(jié)合圖可知，二面角P-AB-N的大小為45°．…（14分）
方法二（幾何法）

由（2）知BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∵N是直角三角形Rt△PBC斜邊上的中線，∴．
同理．∴AN=BN．
取AB的中點(diǎn)Q，連AQ，則AB⊥NQ．
連MQ，易知MQ∥PA，
∴MQ⊥AB．MQ?平面PAB，NQ?平面NAB，
∴∠MQN即是二面角P-AB-N的平面角．…（11分）
在Rt△PBC中，，
∴，∴在Rt△BQN中，
，
，，…（12分）
∴在△MQN中，MQ²+MN²=NQ²，又有MN=MQ，
∴△MQN是以∠NMQ為直角的等腰直角三角形，
∴∠MQN=45°．…（13分）
∴二面角P-AB-N的大小為45°．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．