已知數(shù)列，滿足，，且對(duì)任意的正整數(shù)，和均成等比數(shù)列.
（1）求、的值；
（2）證明：和均成等比數(shù)列；
（3）是否存在唯一正整數(shù)，使得恒成立？證明你的結(jié)論.
（1），；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：本題考查數(shù)列的求值，等比數(shù)列的證明和研究不等式的恒成立問題.（1）通過題設(shè)條件給出的數(shù)列關(guān)系，求出數(shù)列的初始值；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，分別得到證明，其中應(yīng)說明第一項(xiàng)不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數(shù)使得恒成立分兩步求解，先通過數(shù)列，的單調(diào)性得到，再證明證整數(shù)時(shí)唯一的，求解有關(guān)數(shù)列的綜合問題，主要是要明確解題方向，合理利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，同時(shí)還要注意解題步驟的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.
試題解析：（1）依題意，；
（2）證明：依題意，對(duì)任意正整數(shù)有，即，
，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（3）由（2）得，解得，顯然，數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，是單調(diào)遞減的數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有，
又令得，而，，，
，解得，即對(duì)任意的且時(shí)，，
正整數(shù)也是唯一的.
綜上所述，存在唯一的正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求證：數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+＜．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

數(shù)列中，已知，時(shí)，．?dāng)?shù)列滿足：．
（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式成立（為正整數(shù)）.求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)是以函數(shù)的最小正周期為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，且滿足：，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，（），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列中，，，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的最小值為（    ）
A．5B．4C．3D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差為          .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則公差    ．

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