Question

【題目】已知奇函數(shù)與偶函數(shù)均為定義在上的函數(shù)，并滿足

（1）求的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)

①判斷的單調(diào)性，并用定義證明；

②若，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】(1) (2) 為上的單增函數(shù)；證明見解析；① ②

【解析】

（1）利用解方程法，把看成兩個未知數(shù)，構(gòu)造兩個方程，從而求得的表達式；

（2）①易得為上的單增函數(shù)，再利用定義單調(diào)性的三個步驟，即一取、二比、三下的完整步驟進行證明；

②利用換元法，令將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性得到，最后求得實數(shù)的取值范圍.

（1）因為奇函數(shù)與偶函數(shù)均為定義在上的函數(shù)，

所以，

因為，①

所以，

即②

①-②得：，所以；

（2）①為上的單增函數(shù)，以下給出證明：

因為，設(shè)，則：

因為，所以，，，

所以為上的單增函數(shù)；

②設(shè)，則，即

即，即，

因為，所以為奇函數(shù)，

由，得，又為上的增函數(shù)，

所以等價于，即，

所以，解得，即的取值范圍為.