Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）判斷當(dāng)時(shí)，與的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）兩條，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出與的圖象的切線，將兩個(gè)切線方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)方程，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)就能確定公切線的條數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.

（I），

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，由得：；由得：

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即，

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.

若與的圖象有公切線.

則

由①得代入②整理得

③

由題意只須判斷關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)

令

令，解得

		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

且圖象在上連續(xù)不斷

方程在及上各有一個(gè)根

即與的圖象有兩條公切線.