Question

設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足

a2a3

a1

=-

5

4

，S7=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試求所有的正整數(shù)m，使得

am+1am+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先確定a₄=1，再根據(jù)

a2a3

a1

=-

5

4

得d=3或d=

3

8

，結(jié)合數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，求出公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)

am+1am+2

am

=

(am+3)(am+6)

am

=am+9+

18

am

，a_n=3n-11=3（n-4）+1，可得

am+1am+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，

18

am

必須是3的倍數(shù)，進(jìn)而驗(yàn)證，可得所有的正整數(shù)m，使得

am+1am+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

解答： 解：（1）因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，且S₇=7，而S7=

7(a1+a7)

2

=7a4，于是a₄=1．…（2分）
設(shè){a_n}的公差為d，則由

a2a3

a1

=-

5

4

得

(1-2d)(1-d)

1-3d

=-

5

4

，
化簡得8d²-27d+9=0，即（d-3）（8d-3）=0，解得d=3或d=

3

8

，
但若d=

3

8

，由a₄=1知不滿足“數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)”，故d=3．…（5分）
于是a_n=a₄+（n-4）d=3n-11．…（7分）
（2）因?yàn)?span id="dj7ehj2" class="MathJye">

am+1am+2

am

=

(am+3)(am+6)

am

=am+9+

18

am

，a_n=3n-11=3（n-4）+1，…（10分）
所以要使

am+1am+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，

18

am

必須是3的倍數(shù)，
于是a_m在±1，±2，±3，±6中取值，
但由于a_m-1是3的倍數(shù)，所以a_m=1或a_m=-2．
由a_m=1得m=4；由a_m=-2得m=3． …（13分）
當(dāng)m=4時(shí)，

am+1am+2

am

=

4×7

1

=a13；
當(dāng)m=3時(shí)，

am+1am+2

am

=

1×4

-2

=a3．
所以所求m的值為3和4．…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，解題的重點(diǎn)是要熟練掌握基本公式，并能運(yùn)用公式，還要具備一定的運(yùn)算能力．