如圖,已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形,且===.
(I)證明:⊥BD;
(II)假定CD=2,=,記面為,面CBD為,求二面角 的平面角的余弦值;
(III)當(dāng)的值為多少時(shí),能使平面?請(qǐng)給出證明.
(Ⅰ)證明:連結(jié)A1C1、AC、AC和BD交于O,連結(jié)C1O.
∵ 四邊形ABCD是菱形,∴ AC⊥BD,BD=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C= C1C,
∴ △C1BC≌△C1DC∴ C1B=C1D,
∵ DO=OB∴ C1O⊥BD,
但AC⊥BD,AC∩C1O=O,∴ BD⊥平面AC1,
又C1C平面AC1∴ C1C⊥BD.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BD,C1O⊥BD,
∴ ∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.
在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60º,
∴ C1B2=22+()2-2×2××cos60º=
∵ ∠OCB=30º,
∴ OB=BC=1.
∴C1O2= C1B2-OB2=,∴ C1O=即C1O= C1C.
作 C1H⊥OC,垂足為H.∴ 點(diǎn)H是OC的中點(diǎn),且OH=,
所以cos∠C1OC==.
(Ⅲ)當(dāng)=1時(shí),能使A1C⊥平面C1BD
證明一:
∵ =1,∴ BC=CD= C1C,
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,由此可推得BD= C1B = C1D.
∴ 三棱錐C-C1BD是正三棱錐.
設(shè)A1C與C1O相交于G.
∵ A1 C1∥AC,且A1 C1∶OC=2∶1,∴ C1G∶GO=2∶1.
又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線,
∴ 點(diǎn)G是正三角形C1BD的中心,∴ CG⊥平面C1BD.即A1C⊥平面C1BD.
證明二:
由(Ⅰ)知,BD⊥平面AC1,
∵ A1 C平面AC1,∴BD⊥A1 C.
當(dāng)=1時(shí),平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形,同BD⊥A1 C的證法可得BC1⊥A1C,
又BD⊥BC1=B,∴ A1C⊥平面C1BD.
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