Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，M為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：平面ADP⊥平面PAC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接BD，由于四邊形ABCD為平行四邊形，
則BD交AC于AC的中點O，
在△DBP中，O為BD的中點，M為DP的中點，所以O(shè)M∥PB．（2分）
又OM?平面ACM，PB在平面ACM外，
所以PB∥平面ACM（5分）
（Ⅱ）在△ACD中，∠ADC=45°，，
由余弦定理得，cos∠ADC==，
可得AC=AD，即∠ACD=45°，所以AD⊥AC．（7分）
因為，PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥AD，（8分）
又PO∩AC=O，所以，AD⊥平面PAC，（10分）
又AD?平面ADP，所以，平面ADP⊥平面PAC．（12分）
分析：（Ⅰ）連接BD，在△DBP中，根據(jù)中位線定理，可得OM∥PB，再根據(jù)線面平行的判定定理進行求解；
（Ⅱ）在△ACD中，∠ADC=45°，，根據(jù)余弦定理：cos∠ADC=，從而求出AC=AD，再根據(jù)面面垂直的判定定理進行求解；
點評：此題主要考查空間立體幾何的性質(zhì)，線面平行和面面垂直的判定定理，此題是一道中檔題，也是高考的熱點問題；