Question

已知函數(shù)f（x）=

a3x+a-2

3x+1

，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合函數(shù)f（-x）=-f（x），得到2a=

2•3x+2

3x+1

，解出即可；（2）設(shè)x₁＞x₂，由定義證明即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為3t²-2t-1≤k，求出g（t）=3t²-2t-1在[-1，0]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=a-

2

3x+1

，
∴f（-x）=a-

2

3-x+1

=a-

2•3x

3x+1

，
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即：a-

2•3x

3x+1

=-a+

2

3x+1

，
∴2a=

2•3x+2

3x+1

，
∴a=1；
（2）由（1）得：f（x）=1-

2

3x+1

，f（x）在（-∞，+∞）上遞增，
證明如下：
設(shè)x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=1-

2

3x1+1

-1+

2

3x2+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＞x₂，∴3x1＞3x2，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若對任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，
則f（t²-2t-1）≤-f（2t²-k）恒成立，
則f（t²-2t-1）≤f（k-2t²）≤0恒成立，
由（2）得：f（x）在R上遞增，
∴t²-2t-1≤k-2t²，
∴3t²-2t-1≤k，
令g（t）=3t²-2t-1，則g（t）在[-1，0]上遞減，
∴g（t）_max=g（-1）=4，
∴k≥4．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．