Question

函數(shù)是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（1）=．
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結論．
（3）寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并判斷f（x）有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需說明理由）

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即 =-，
∴b=0． …
∵f（1）=
∴a=1．
∴f（x）=． …
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=-
=． …
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，故 ＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)． …
（3）單調(diào)減區(qū)間（-∞，-1]，[1，+∞），…
當x=-1時有最小值-，當x=1時有最大值． …
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義以及f（1）=，求出b和a的值，解開得到f（x）的解析式．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）類比（2）中函數(shù)的在（-1，1）上的單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間，結合（2）中結論可得函數(shù)的最值．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．