Question

已知函數(shù)f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中ω＞0），且函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為π．
（1）先列表再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的圖象；
（2）若f(

x

2

)=2，求cos(

2π

3

-x)的值；
（3）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)范圍通過列表等畫出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)f(

x

2

)=2求出sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，利用誘導(dǎo)公式求出cos(

2π

3

-x)的值；
（3）利用余弦定理求出B的值，確定出

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π，然后求出函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinωx•cosωx+2cos2ωx=

3

sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin(2ωx+

π

6

)+1
由條件得

2π

2ω

=2π，所以ω=

1

2

，f(x)=2sin(x+

π

6

)+1（3分）
（1）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

x+ π 6	- 5 6 π	- π 2	0	π 2	π	7 6 π
x	-π	- 2 3 π	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

描點(diǎn)作圖，函數(shù)f（x）在[-π，π]上的圖象如圖所示．
（6分）
（2）由f(

x

2

)=2可得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

．∴cos（

2π

3

-x）=cos（x-

2π

3

）=-cos（x+

π

3

）
=-[1-2sin²（

x

2

+

π

6

）]=2•（

1

2

）²-1=-

1

2

．（9分）
（3）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，∴0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π，

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
又∵f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，∴f（A）=2sin（A+

π

6

）+1
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（2，3]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象的畫法，是�？碱}型．