Question

1．函數(shù)f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ]，[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+π]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+$\frac{π}{3}$]，[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{3}$]，k∈Z．（請(qǐng)用求導(dǎo)與復(fù)合函數(shù)兩種方法解）

Answer 1

分析 方法1：利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
方法2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：方法1：f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$=cos²x-cosx-1=（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
設(shè)t=cosx，則-1≤t≤1，
由當(dāng)cosx$≥\frac{1}{2}$時(shí)，解得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
當(dāng)cosx≤$\frac{1}{2}$時(shí)，解得2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，或2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π，k∈Z，
即當(dāng)2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ，時(shí)，函數(shù)t=cosx為增函數(shù)，此時(shí)t$≥\frac{1}{2}$，函數(shù)y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)t=cosx為減函數(shù)，此時(shí)t$≥\frac{1}{2}$，函數(shù)y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
即當(dāng)2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，時(shí)，函數(shù)t=cosx為增函數(shù)，此時(shí)t≤$\frac{1}{2}$，函數(shù)y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$為減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π，函數(shù)t=cosx為減函數(shù)，此時(shí)t≤$\frac{1}{2}$，函數(shù)y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$為減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ]，[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+π]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+$\frac{π}{3}$]，[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
導(dǎo)數(shù)法：∵f（x）=cos²x-cosx-1，
∴f′（x）=-2cosxsinx+sinx=sinx（1-2cosx），
由f′（x）＞0得sinx（1-2cosx）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞0}\\{1-2cosx＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx＜0}\\{1-2cosx＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞0}\\{cosx＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx＜0}\\{cosx＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即2kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜2kπ+π，或2kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜2kπ，k∈Z，
由f′（x）＜0得sinx（1-2cosx）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞0}\\{1-2cosx＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx＜0}\\{1-2cosx＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞0}\\{cosx＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx＜0}\\{cosx＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，或2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ]，[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+π]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+$\frac{π}{3}$]，[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
故答案為：單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ]，[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+π]，單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+$\frac{π}{3}$]，[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．