設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
|x+3|
    x≠-3
1           x=-3
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則下列說法中錯誤的是(  )
分析:關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3個解,則必然含有x=1這樣一個解,另外2個則在分段函數(shù)的另一段里面,剛好它是個絕對值函數(shù),可以提供2個不同自變量時為同一值.既然含有x=1的解,此時f(1)=1,我們知道另外2個值也是1的肯定也能滿足方程,所以關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3個不同實數(shù)解時,f(x)=1,從而可得結(jié)論.
解答:解:分段函數(shù)的圖象如圖所示
由圖可知,只有當(dāng)f(x)=1時,它有三個根.
1
|x+3|
=1時,x=-2或-4.
∴關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有3個不同實數(shù)解時,
解分別是-4,-3,-2,且x1=-4,x2=-3,x3=-2,
x12+x22+x32=16+9+4=29,x1+x3=-6,
∵f(x)=1,∴1+a+b=0
∵a2-4b=a2+4a+4=(a+2)2≥0
∴D不正確
故選D.
點評:本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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2
2
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3
2
3
2

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(2013•順義區(qū)二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數(shù)為
6
6

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當(dāng)x∈[-
π
2
π
2
]
時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(-
π
2
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數(shù)是( 。

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對任意的x都成立;②當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點個數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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