Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面成60°角，側(cè)棱長與底面邊長均相等，側(cè)面B₁C₁CB⊥面ABC．
（1）求證：AC₁⊥BC；
（2）求BA₁與AC₁所成的角；
（3）求CB₁與平面AC₁B₁所成角的正弦值；
（4）求二面角C-AC₁-B₁的余弦值；
（5）若AB=2，求A₁到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=0，可得AC₁⊥BC；
（2）利用$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=0求BA₁與AC₁所成的角；
（3）求出平面AC₁B₁的法向量，求CB₁與平面AC₁B₁所成角的正弦值；
（4）求出平面CAC₁的法向量，即可求二面角C-AC₁-B₁的余弦值；
（5）若AB=2，平面AC₁B₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），即可求A₁到平面AB₁C₁的距離．

解答 （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面成60°角，側(cè)棱長與底面邊長均相等，側(cè)面B₁C₁CB⊥面ABC，∴取BC的中點(diǎn)O，則OC₁⊥平面ABC，OA⊥BC．
建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)底面邊長2，則A（$\sqrt{3}$，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（0，-1，0），∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-2，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴AC₁⊥BC；
（2）解：A₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=0，
∴BA₁與AC₁所成的角為90°；
（3）解：∵B₁（0，2，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$）
設(shè)平面AC₁B₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
∴CB₁與平面AC₁B₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9+3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（4）同理可得平面CAC₁的法向量為（1，-$\sqrt{3}$，1）
∴二面角C-AC₁-B₁的余弦值為$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（5）解：AB=2，平面AC₁B₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
∴A₁到平面AB₁C₁的距離$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查知識(shí)點(diǎn)，考查空間向量的運(yùn)用，正確建立坐標(biāo)系，求平面的法向量是關(guān)鍵．