Question

如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時(shí)與的相對(duì)位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）作，連接，利用（2）中的結(jié)論平面，先證明平面，進(jìn)而說(shuō)明為二面角的平面角，然后在中計(jì)算，即可計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析：（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image021.png">平面ABD，平面ABD，所以平面.

（2）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，，所以在三棱錐中，.

在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，

所以.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image030.png">，所以，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image033.png">平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image037.png">平面DOM，所以平面平面.

（3）作于，連結(jié)DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image043.png">，所以平面ODE.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054033961353403_DA.files/image045.png">平面ODE，所以.

所以是二面角的平面角.

在Rt△DOE中，，，，

所以.所以二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：直線與平面平行、平面與平面平行、二面角