Question

知{a_n}是首項(xiàng)為-2的等比數(shù)列,S_n是其前n項(xiàng)和,且S₃,S₂,S₄成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.
(2)若b_n=log₂|a_n|,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

(1) a_n=(-2)ⁿ    (2) T_n=1-=

(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q,其首項(xiàng)a₁=-2.
方法一:①若q=1,則S_n=na₁=-2n,
此時(shí)S₃=-6,S₂=-4,S₄=-8,S₃,S₂,S₄不成等差數(shù)列,不合題意;
②若q≠1,則S_n==-
因?yàn)镾₃,S₂,S₄成等差數(shù)列,
所以2S₂=S₃+S₄,即-=--,
整理得q²+q-2=0,
解得q=-2或q=1(舍去),
綜上所述,數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1
=(-2)×(-2)^n-1=(-2)ⁿ.
方法二:S₂=a₁+a₁q,S₃=a₁+a₁q+a₁q²,S₄=a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³.
因?yàn)镾₃,S₂,S₄成等差數(shù)列,
所以2S₂=S₃+S₄,即2a₁+2a₁q=2a₁+2a₁q+2a₁q²+a₁q³,整理得2a₁q²+a₁q³=0.
因?yàn)閍₁≠0,q≠0,所以q=-2,
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=(-2)×(-2)^n-1=(-2)ⁿ.
(2)由(1)可知a_n=(-2)ⁿ,
依題意b_n=log₂|a_n|=log₂|(-2)ⁿ|=log₂2ⁿ=n,
所以==-,
所以T_n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.