Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足xf′（x）+f（x）=

lnx

x

，f（e）=

1

e

，則函數(shù)f（x）（　　）

• A、在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減
• B、在（0，+∞）上單調(diào)遞增
• C、在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增
• D、在（0，+∞）上單調(diào)遞減

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先求出函數(shù)f（x），再求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答： 解：∵[x（f（x）]′=xf′（x）+f（x），
∴[xf（x）]′=

lnx

x

=（

ln2x

2

+c）′
∴xf（x）=

1

2

ln2x+c
∴f（x）=

ln2x

2x

+

c

x

∵f（e）=

1

e

，
∴

1

e

=

1

2e

+

c

e

即c=

1

2

∴f′（x）=

2lnx-ln2x

2x2

-

1

2x2

=-

ln2x-2lnx+1

2x2

=-

(lnx-1)2

2x2

＜0
∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x），屬于中檔題．