Question

（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

Answer 1

解法一：（1）易知S-ABD是正四面體，作SO⊥平面ABCD于O，則O是正三角形ABD的垂心
∵AB⊥OD
∴AB⊥SD（三垂線定理）
（2）∵AC=6∴CD=SD=，設B到平面SCD的距離為d，
于是
又AB∥平面SCD
∴異面直線AB與SC之間的距離即為點B到平面SCD的距離d，
所以兩異面直線之間的距離為．
解法二：作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分點E，則OE，OC，OS兩兩互相垂直建立坐標系（如圖）
A（-2，0，0，） B（1，，0）D（1，-，0）
S（0，0，）
（1）∵
∴AB⊥SD
（2）又C（4，0，0），可得，設是兩異面直線公垂線的方向向量，
于是有代入向量坐標，令x=1，得
∴，又
∴兩異面直線之間的距離
分析：法一：（立體幾何法）（1）由題設條件將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC可以判斷棱錐是一個正四面體，由正四面體的性質再結合三垂線定理可證明結論；
（2）由題設條件，可將求異面直線AB與SC之間的距離的問題轉化為求直線AB與平面SCD之間的距離，進而轉化為點到面的距離即可求得兩異面直線間的距離．
法二：（向量法）作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分點E，則OE，OC，OS兩兩互相垂直建立坐標系，給出各點的空間坐標
（1）求出兩直線AB與SD的方向向量，利用數量積為0與兩向量垂直的關系證明兩直線垂直即可；
（2）可兩異面直線公垂線的方向向量的坐標為，再由建立方程求出此向量的坐標，然后由公式求出AS在此方向上的投影即可得到兩異面直線之間的距離．
點評：本題考查求兩異面直線之間的距離及兩線的垂直關系的判定，本解答給出兩種解法，一個是傳統方法幾何法，一個是空間向量法，學習時要注意對比、體會兩種方法的不同與特征，體會向量法求解立體幾何題的過程與特點．本題考查了數形結合的思想與轉化的思想．