【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，討論的范圍，令求出增區(qū)間，令求出減區(qū)間。

（2）由題意可知，在上有解，討論的范圍，判斷的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出結(jié)論。

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．，

①當(dāng)即時(shí)，

因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以的單調(diào)增區(qū)間為．

②當(dāng)，即時(shí)，令，得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，

減區(qū)間為．

（2）因?yàn)?/span>，

所以．

令，．

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，

則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．

又，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．

且時(shí)，；時(shí)，．

則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)．

又因?yàn)?/span>且在內(nèi)存在零點(diǎn)，

所以解得．

顯然在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記為．

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在點(diǎn)兩側(cè)異號，即在點(diǎn)兩側(cè)異號，為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，又，在內(nèi)成立，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，，易得時(shí)，，故無極值點(diǎn)．

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．

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（2）已知對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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