Question

已知函數(shù)，.
(1)a≥－2時(shí),求F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為,其中,求的最小值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能能力以及分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．第一問，先確定的解析式，求出函數(shù)的定義域，對求導(dǎo)，此題需討論的判別式，來決定是否有根，利用求函數(shù)的增區(qū)間，求函數(shù)的減區(qū)間；第二問，先確定解析式，確定函數(shù)的定義域，先對函數(shù)求導(dǎo)，求出的兩根，即，而利用韋達(dá)定理，得到，，即得到，代入到中，要求，則構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即為所求.
試題解析：（1）由題意，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/83/b/pmhfl1.png" style="vertical-align:middle;" />，則，2分
對于，有.
①當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)增區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，的兩根為，
∴的單調(diào)增區(qū)間為和，
的單調(diào)減區(qū)間為.
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，
的單調(diào)減區(qū)間為.   6分
（2）對，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/98/f/1cajo4.png" style="vertical-align:middle;" />.
求導(dǎo)得，，
由題兩根分別為，，則有，，   8分
∴，從而有
，  10分
.
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，
又，
∴.      12分
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).