【題目】如圖,在四棱錐,平面,為線段上一點(diǎn)不在端點(diǎn).

(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),,求證:

(2)當(dāng)中點(diǎn)時(shí),是否存在,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在求出M的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)存在,

【解析】

1)法一:建立空間直角坐標(biāo)系,找坐標(biāo),利用直線的方向向量與平面的法向量垂直,證明即可.法二:取BP的中點(diǎn)E,連接,,則,根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.

2)假設(shè)存在點(diǎn)M,根據(jù),求點(diǎn)M的坐標(biāo),求平面的法向量為,根據(jù),求解,即可.

(1)方法一:證明:因?yàn)?/span>平面,,平面.

所以.

,所以兩兩垂直.

分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,.

顯然平面的法向量為,則

不在平面內(nèi),所以平面.

方法二:取的中點(diǎn),連接,

的中點(diǎn),可知

在平面四邊形中,

,所以,即

由已知得

所以,四邊形是平行四邊形,所以

因?yàn)?/span>平面,平面

所以平面

(2)假設(shè)存在點(diǎn)M使得與平面所成角的正弦值為

,所以

中點(diǎn),則,即

設(shè)平面的法向量為

,不妨設(shè),則

設(shè)線面角為,則

解得1(舍去)

時(shí),直線與平面所成角的正弦值為

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(Ⅰ)從A市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民,試估計(jì)該居民手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于30的概率;

(Ⅱ)從A市隨機(jī)抽取3名使用智能手機(jī)的居民進(jìn)一步做調(diào)研,用X表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)在[20,40)的人數(shù).

①求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

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