Question

對于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，記M_i表示實數(shù)a₁，a₂，…，a_i中最大的數(shù)，m_i表示實數(shù)a_i，a_i+1，…，a_n中最小的數(shù)，d_i=M_i-m_i，其中i=1，2，…n．定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列T（A）：d₁，d₂，…，d_n．
（1）已知數(shù)列A：2，0，4，-1，1和數(shù)列B：b_k=3k，k=1，2，…，n，寫出數(shù)列T（A）和T（B）；
（2）已知數(shù)列A：a₁，a₂，a₃中任意兩個項互不相等，證明：數(shù)列T（A）：d₁，d₂，d₃中必有兩個相鄰的項相等；
（3）證明：對于有窮數(shù)列A，T（A）與A是相同的數(shù)列的充要條件是a_k=0，k=1，2，…，n．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：推理和證明

分析：對第（1）問，令i=1，2，3，4，5時，分別求出d_i，即得數(shù)列T（A），同理可得數(shù)列T（B）；
對第（2）問，根據(jù)a₁，a₂，a₃的大小關(guān)系，分4種情況討論，求出d₁與d₂，或d₂與d₃即可；
對第（3）問，充分性：根據(jù)a_k=0，求出M_k，m_k，從而得d_k，再比較a_k與d_k即可．
必要性：首先證明A中的各項都是非負的，再用反證法證明A中的各項都是0，即假設(shè)a₁，a₂，…，a_n中有一個正數(shù)，設(shè)為a_k，于是a_k≤M_l=0，得出矛盾，從而達到證明的目的．

解答：解答：（1）由T（A）的定義可知：
i=1時，d₁=M₁-m₁=a₁-a₄=2-（-1）=3；
i=2時，d₂=M₂-m₂=a₁-a₄=3；
i=3時，d₃=M₃-m₃=a₃-a₄=4-（-1）=5；
i=4時，d₄=M₄-m₄=a₃-a₄=5；
i=5時，d₅=M₅-m₅=a₃-a₅=4-1=3．
即得數(shù)列T（A）：3，3，5，5，3．
同理，得數(shù)列T（B）：0，0，…，0，即通項為d_k=0，k=1，2，…，n．
（2）A：a₁，a₂，a₃中3項的大小關(guān)系有以下4種情況：
當a₁＜a₂＜a₃時，由定義易得T（A）：0，0，0，命題得證；    
當a₁＞a₂＞a₃時，由定義易得T（A）：a₁-a₃，a₁-a₃，a₁-a₃，命題得證；
當a₁＜a₂＞a₃時，由定義得d₂=a₂-a₃=d₃，命題得證；     
當a₁＞a₂＜a₃時，由定義得d₁=a₁-a₂=d₂，命題得證．  
綜上可知：數(shù)列T（A）：d₁，d₂，d₃中必有兩個相鄰的項相等．
（3）先證充分性：∵a_k=0，k=1，2，…，n，∴M_k=0，m_k=0，k=1，2，…，n，
所以d_k=a_k，k=1，2，…，n，即T（A）=A．　　　　　　　
再證必要性：∵m_k≤a_k≤M_k∴d_k=M_k-m_k≥0，k=1，2，…，n，又T（A）=A，則a_k=d_k≥0．
假設(shè)a₁，a₂，…，a_n中有一個正數(shù)，設(shè)a_k為a₁，a₂，…，a_n中從左至右的第1個正數(shù)，
則由定義知：M_k=a_k，從而a_k=d_k=M_k-m_k⇒m_k=0，
這說明在a_k+1，a_k+2，…，a_n中最小值為0，不妨設(shè)a_l=0（k≤l≤n），
由m_l定義知：m_l=0，則d_l=M_l-m_l=a_l，得M_l=0，由M_l的定義有：a_k≤M_l=0，這與a_k＞0矛盾．
故a_k=0，k=1，2，…，n．
綜上知，對于有窮數(shù)列A，T（A）與A是相同的數(shù)列的充要條件是a_k=0，k=1，2，…，n．

點評：本題考查了學生對新問題的分析與綜合能力，以及對知識的遷移能力，對思維的要求較高，難度較大，關(guān)鍵是弄懂題中各符號的含義，并善于例舉和分類討論，需要縝密的邏輯推理能力才能作出完整的解答．