Question

設(shè)向量a，b滿足：|a|=3，|b|=4，a•b=0．以|a|，|b|，|a+b|為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為

 

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)|a|=3，|b|=4，a•b=0．得到|a+b|的值，知道三角形是邊長(zhǎng)為3、4、5，構(gòu)成直角三角形，和這個(gè)直角三角形內(nèi)切的圓半徑為1，此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，圓的半徑不變，改變位置，最多有四個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：∵|a|=3，|b|=4，a•b=0
可得|a+b|=

a2+b2+2a•b

=5，
設(shè)該三角形內(nèi)切圓的半徑為r，
則（4-r）+（3-r）=5?r=1，
∴對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，
對(duì)于圓的位置稍作移動(dòng)，則能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)，但不能得到5個(gè)以上的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：向量是數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象，作為代數(shù)的對(duì)象，向量可以運(yùn)算，而作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫(huà)直線、平面切線等幾何對(duì)象．