Question

在△ABC中，若sin（2π-A）=-

2

sin（π-B），

3

cosA=-

2

cos（π-B），求△ABC的三內(nèi)角．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用誘導(dǎo)公式化簡已知的兩等式，得到的關(guān)系式分別記作①和②，①²+②²，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得出cos²A的值，開方可得cosA的值，同時由

①

②

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切得到tanA與tanB的關(guān)系，再利用正弦定理化簡關(guān)系式①，得到a與b的關(guān)系，可得a大于b，根據(jù)三角形中大邊對大角可得A大于B，求出B，A，利用內(nèi)角和求出C．

解答： 解：把已知的等式化簡得：-sinA=-

2

sinB，即sinA=

2

sinB①，

3

cosA=

2

cosB②，
①²+②²得：sin²A+3cos²A=2sin²B+2cos²B，即1+2cos²A=2，
∴cos²A=

1

2

，即cosA=

2

2

或cosA=-

2

2

，
又

①

②

得：tanA=

3

tanB，
利用正弦定理化簡①得：a=

2

b，即a＞b，則有A＞B，
∴cosA=

2

2

時，A=

π

4

，即tanA=1，
則有tanB=

3

3

，此時B為最小角，
∴B=

π

6

；∴C=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

．
綜上，△ABC的三個內(nèi)角中三個內(nèi)角分別為：C=

7π

12

；B=

π

6

；A=

π

4

．

點(diǎn)評：本題考查誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是靈活變換已知的兩等式．