Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的零點(diǎn)是-1和3，當(dāng)x∈（-1，3）時，f（x）＜0，且f（4）=5．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=（

1

2

）^f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件將二次函數(shù)設(shè)為兩根式，然后由f（4）=5可解得，（2）令t=f（x）=x²+2x-3，求t的取值范圍，利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)該二次函數(shù)為f（x）=a（x-1）（x+3）且a＞0，
∵f（4）=5可得a（4+1）（4-3）=5，解得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x+3）=x²+2x-3，
（2）由（1）知，設(shè)t=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4≥-4，
又∵g（t）=（

1

2

）^t在[-4，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（t）≤（

1

2

）^-4=16，
又∵g（x）與g（t）有相同的最值，
∴g（x）的最大值為16．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)概念，二次函數(shù)求解析式的方法以及指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)的最值，著重對函數(shù)性質(zhì)的分析和把握．