Question

已知圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）過原點斜率為k的直線與圓C相交于A、B兩點，若|AB|=2，求k的值；
（2）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標和半徑r，
（1）由直線過原點且斜率為k，設出直線的方程為y=kx，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線的距離d，由已知|AB|的長，以及圓的半徑r，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心C到直線的距離d，可列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）分兩種情況考慮：①當切線l過原點時，設切線l的方程為y=kx，利用點到直線的距離公式求出圓心C到切線l的距離d，根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離d=r，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可確定出此時切線l的方程；②當切線l不過原點時，設切線l的方程為x+y-a=0，根據(jù)d=r，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出此時切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線l的方程．
解答：解：由圓的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圓心C的坐標為（-1，2），半徑r=，
（1）設直線的方程為y=kx，即kx-y=0，
∵r=，|AB|=2，
∴圓心C到直線的距離d==1，又d=，
∴=1，即（k+2）²=k²+1，
解得：k=-；
（2）分兩種情況考慮：
①若切線l過原點，設l方程為y=kx，即kx-y=0，
則由C（-1，2）到l的距離d==r=，即（k+2）²=2k²+2，
解得：k=2±，
∴此時切線l的方程為y=（2±）x；
②若切線l不過原點，設l的方程為x+y-a=0，
則由C（-1，2）到l的距離d==r=，即|a-1|=2，
可得a-1=2或a-1=-2，解得：a=3或a=-1，
∴此時切線方程為x+y-3=0或x+y+1=0，
綜上，切線l的方程為y=（2±）x或x+y-3=0或x+y+1=0．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及直線的截距式方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，圓的標準方程，點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題；當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質(zhì)是解本題第二問的關(guān)鍵．