給定函數(shù)數(shù)學(xué)公式
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項均為負(fù)的數(shù)列{an}滿足，數(shù)學(xué)公式，求證：-數(shù)學(xué)公式＜數(shù)學(xué)公式＜-數(shù)學(xué)公式；
（3）設(shè)bn=-數(shù)學(xué)公式，Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項和，求證：T2012-1＜ln2012＜T2011．

解：（1）的定義域?yàn)閧x|x≠1}
f′（x）=
由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，2）
（2）由已知可得2，當(dāng)n≥2時，2
兩式相減得（an+an-1）（an-an-1+1）=0
∴an=-an-1或an-an-1=-1
當(dāng)n=1時，2a1=a1-a12得a1=-1，若an=-an-1，則a2=1這與題設(shè)矛盾
∴an-an-1=-1
∴an=-n                   
于是，待證不等式即為．
為此，我們考慮證明不等式
令1+=t．則t＞1，x=
再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-  
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時，g（t）單調(diào)遞增∴g（t）＞g（1）=0 于是t-1＞lnt
即 ，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+，h′（t）=   由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時，h（t）單調(diào)遞增∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-
即，x＞0　　 ②
由①、②可知，x＞0      
所以，，即    
（3）由（2）可知   則 
在中令n=1，2，3…..2010，2011并將各式相加得
即     T2012-1＜ln2012＜T2011…14
分析：（1）先寫出的定義域，再求其導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間即可；
（2）由已知可得2，再由此式得到2，兩式相減得結(jié)合已知條件得出an的通項公式，于是，待證不等式即為．為此，我們考慮證明不等式，下面利用換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行證明．
（3）由（2）可知   則 ，下面只須在中令n=1，2，3…..2010，2011并將各式相加即可．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實(shí)數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
x+1-tt-x
（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=1時，在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設(shè)an=f（n）（n∈N*），當(dāng)t＞10，且t∉N*時，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性并由此寫出該數(shù)列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述構(gòu)造過程中，若xi（i∈N*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；若xi不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．若可用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列{xn}，求t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
x+1-tt-x
（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=1時，在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設(shè)an=f（n）（n∈N*），當(dāng)t＞10，且t∉N*時，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性并由此寫出該數(shù)列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述構(gòu)造過程中，若xi（i∈N*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；若xi不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．若取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{xn}，求實(shí)數(shù)t的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（數(shù)學(xué)公式）＜數(shù)學(xué)公式，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實(shí)數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案