Question

設f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（）＜，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x²是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值．

Answer 1

（Ⅰ））解：∵f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（+）=--+x₁x₂=-＜0，
∴對定義域中的任意兩數(shù)x₁，x₂恒有f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂）成立，
∴f（x）=x²是其定義域上的C函數(shù)；
（Ⅱ）證明：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴x₁=x₂=0時，f（×0+）=f（0）+f（0），
∴f（x）不是定義在R上的C函數(shù)．
（Ⅲ）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=∈[0，1]，
∵f（x）是R上的π函數(shù)，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=×2m=2n；
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是π函數(shù)，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．
分析：（Ⅰ）根據(jù)C函數(shù)定義，對D中的任意兩數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（）＜，可用作差法證明f（x）=x²是否為定義域上的C函數(shù)；
（Ⅱ）利用特殊值發(fā)進行判斷，只要有一個點不滿足即可；
（Ⅲ）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=∈[0，1]利用α-β函數(shù)的概念求得a_n=2n，從而轉化為等差數(shù)列的求和問題；
點評：本題考查函數(shù)的概念、最值及數(shù)列的求和，難點在于通過對π函數(shù)的理解轉化為數(shù)列求和問題，屬于難題．