Question

如圖，邊長為2的正方形A₁ACC₁繞直線CC₁旋轉(zhuǎn)90°得到正方形B₁BCC₁，D為CC₁的中點(diǎn)，E為A₁B的中點(diǎn)，G為△ADB的重心．
（1）求直線EG與直線BD所成的角；
（2）求直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線EG與直線BD的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．
（2）分別求出直線A₁B的方向向量與平面ADB的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．
解答：解：由題設(shè)CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC⊥BC
所以，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），．（2分）
（1），（4分）
所以，
∴
所以，直線EG與直線BD所成的角為．（5分）
（2）（6分），
設(shè)為平面ABD的一個(gè)法向量
則，
∴
取．（8分）
設(shè)A₁B與平面ADB所成的角為θ
則．
即：A₁B與平面ADB所成的角為正弦值為．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，把空間異面直線的夾角問題及直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．