Question

如圖所示，用邊長為60cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個相同的小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接成無蓋水箱，則水箱的最大容積為

 

（cm³）．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)水箱底長為xcm，則高為

60-x

2

cm，求出容器的容積，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)水箱底長為xcm，則高為

60-x

2

cm．
由

60-x 2 ＞0 x＞0

得0＜x＜60．
設(shè)容器的容積為ycm³，則有y=-

1

2

x3+30x2．  …（2分）
求導(dǎo)數(shù)，有y′=-

3

2

x2+60x．   …（4分）
令y′=0，解得x=40（x=0舍去）．
當(dāng)x∈（0，40）時，y'＞0；當(dāng)x∈（40，60）時，y'＜0，…（6分）
因此，x=40是函數(shù)y=-

1

2

x3+30x2的極大值點，也是最大值點，此時y=16000cm³．
故答案為：16000．

點評：本題考查了立方體容積計算方法，解答關(guān)鍵是求出水箱的底邊長和高，注意挖掘題目中的隱含條件，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．