Question

如圖是某校校門的一個局部的截面設(shè)計圖，CA=AO=OB=2米，

EF

是以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓的一段�。‥、F兩點分別在OC、OD上），∠AOC=∠BOD=θ（θ≤

π

4

），OD=k•OC（k是常數(shù)且1＜k≤3）．通過對材料性能進行測算，“跨度比”

CD

OC

不能超過

3k+1

． 
（1）將該截面（圖中實線圍成的區(qū)域）的面積S表示為θ的函數(shù)；
（2）為使該門口顯得相對大氣，截面積S越大越好． 當(dāng)S最大時，試求cosθ的值．

Answer 1

考點：余弦定理,解三角形的實際應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)平角的定義得到∠COD=π-2θ，再由OD=k•OC，CD≤

3k+1

•OC，利用余弦定理列出不等式，求出cos2θ的范圍，利用三角形面積公式表示出S與θ的關(guān)系式即可；
（2）利用求導(dǎo)法則求出S′，令S′=0表示出cos2θ的值，分兩種情況考慮：①若

1

1+k

≤

3-k

2

；②若

1

1+k

＞

3-k

2

，分別求出S最大時，cosθ的值即可．

解答： 解：（1）易知∠COD=π-2θ，由OD=k•OC，CD≤

3k+1

•OC，
根據(jù)余弦定理得：CD²=OC²+（k•OC）²-2•OC•（k•OC）cos（π-2θ）≤（

3k+1

•OC）²，
整理得：cos2θ≤

3-k

2

，記滿足cos2θ=

3-k

2

的銳角θ為θ₀，
∵S_△AOC=

1

2

•OA•ACsin（π-2θ）=2sin2θ，
∴S=S_△AOC+S_△BOD+S_扇形EOF=（1+k）S_△AOC+S_扇形EOF=2（1+k）sin2θ+

1

2

•（π-2θ）•2²=2（1+k）sin2θ-4θ+2π，
∴S=2（1+k）sin2θ-4θ+2π（θ₀≤θ≤

π

4

）；
（2）由S=2（1+k）sin2θ-4θ+2π，得S′=4（1+k）cos2θ-4，
令S′=0，得cos2θ=

1

1+k

，
①若

1

1+k

≤

3-k

2

，即1＜k≤1+

2

，則cos2θ=

1

1+k

時，S取得最大值，
此時cosθ=

1+cos2θ 2

=

k+2 2(k+1)

；
②若

1

1+k

＞

3-k

2

，即1+

2

＜k≤3，則cos2θ=

3-k

2

時，S取得最大值，
此時cosθ=

1+cos2θ 2

=

5-k

2

．

點評：此題考查了余弦定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．