Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：x-

3

y=4相切
（1）求圓O的方程
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列．
①求點(diǎn)P軌跡
②求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意可知圓是圓心在原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程．
（2）①根據(jù)圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，可得點(diǎn)P軌跡；
②由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化簡

PA

•

PB

=2（y²-1），從而求

PA

•

PB

的取值范圍．

解答： 解：（1）半徑r=

|0-0-4|

1+3

=2，故圓O的方程為 x²+y²=4．
（2）①圓O與x軸相交于A（-2，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，設(shè)點(diǎn)P（x，y），
則有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，化簡可得x²-y²=2，
∴點(diǎn)P軌跡是雙曲線．
②由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
∴

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，0）．

點(diǎn)評：本題考查向量的取值范圍問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，以及等比數(shù)列問題．通過圓內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)滿足的兩個關(guān)系最終確定向量的取值范圍，屬于中檔題．