Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知a²=2b²，再由直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，知=b，由此可求出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）由MP=MF₂，知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定直線l₁：x=-2的距離等于它到定點(diǎn)F₂（2，0）的距離，由此可求出點(diǎn)M的軌跡C₂的方程．
（Ⅲ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則直線AC的方程為y=k（x-2），聯(lián)立及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵e=，∴e²=，∴a²=2b²
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切
∴=b，∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴橢圓C₁的方程是（3分）
（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF₂，
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-2的距離等于它到定點(diǎn)F₂（2，0）的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=8x（6分）

（Ⅲ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則直線AC的方程為y=k（x-2）
聯(lián)立及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
所以x₁+x₂=，x₁x₂=
|AC|===．（8分）
由于直線BD的斜率為-，用-代換上式中的k可得|BD|=
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積為S=|AC|•|BD|=..（10分）
由（1+2k²）（k²+2）≤[]²=[]²
所以S≥，當(dāng)1+2k²=k²+2時(shí)，即k=±1時(shí)取等號(hào)．（11分）
易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積S=8
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．